La forma correcta de escribir el resultado de
una medición es dar la mejor estimación del valor de la cantidad medida y el rango
dentro del cual Ud. puede asegurar que este valor se encuentra. Convencidos de que no
existe tal cosa como el valor real de una cantidad a medir, debemos conformarnos
con saber dentro de qué intervalo estamos seguros que la cantidad a medir se encuentra.
Supongamos, por ejemplo, que deseamos medir el diámetro de una esfera de granito con una
regla, como lo muestra la figura.
Midiendo el diámetro de una esfera con una regla.
Observando la figura, podemos decir que el diámetro de la esfera es con
seguridad mayor que 16 mm y menor que 17 mm, pero no es posible dar una lectura más
precisa. En este caso, expresaremos el resultado como
mejor estimación de la longitud = 16.5 mm,
rango probable: 16 a 17 mm.
Este resultado puede escribirse en forma más compacta como:
valor medido de la longitud = 16.5 ± 0.5 mm.
En general, el resultado de una medición cualquiera se expresa como
(valor medido de x ) = xmejor
± Dx.
III.a. Cifras significativas
Existen varias reglas usadas para expresar las incertezas que vale la pena
enfatizar. En primer lugar, debido a que la cantidad Dx
es una estimación de la incerteza, obviamente no debe establecerse con demasiada
precisión. Si medimos la aceleración de la gravedad g, sería absurdo escribir el
resultado como
(g medido) = 9.82 ± 0.02385 m/s2.
No hay forma de conocer la incerteza en la medición con cuatro cifras
significativas! En trabajos de gran precisión, las incertezas se establecen a veces con
dos cifras significativas, pero para nuestros propósitos podemos establecer la siguiente
regla:
Regla para expresar las incertezas
Las incertezas experimentales deben ser
redondeadas en la mayor parte de los casos a una sola cifra significativa.
Por lo tanto, si un cálculo resulta en una incerteza Dg
= 0.02385 m/s2, la respuesta debe redondearse a Dg
= 0.02 m/s2, y el resultado anterior debe escribirse
(g medido) = 9.82 ± 0.02 m/s2.
Esta regla tiene sólo una excepción significativa. Si el primer dígito
en la incerteza Dx es un 1, entonces puede ser mejor
mantener dos cifras significativas en Dx. Por ejemplo,
supongamos que un cálculo resulta en una incerteza Dx =
0.14. Redondear este número a Dx = 0.1 resulta en una
disminución substancial (del orden del 40%!), de forma tal que podemos afirmar que es
más correcto en este caso retener dos cifras significativas, escribiendo la incerteza
como Dx = 0.14.
Una vez que se ha estimado la incerteza en la medición, deben
considerarse las cifras significativas del valor medido. Un resultado escrito como
velocidad medida = 6051.78 ± 30 m/s
es obviamente ridículo. La incerteza de 30 significa que el dígito 5
podría ser realmente tan pequeño como 2 o tan grande como 8. Claramente, los dígitos
siguientes 1, 7 y 8 no tienen ningún significado y debieran ser redondeados. Es decir que
la forma correcta de escribir este resultado es
velocidad medida = 6050 ± 30 m/s.
La regla general es esta:
Regla para escribir los resultados
La última cifra significativa del resultado
debe ser del mismo orden de magnitud (estar en la misma posición decimal) que la
incerteza.
Por ejemplo, la respuesta 92.81 con una incerteza de 0.3 debiera redondearse a
92.8 ± 0.3.
Si la incerteza es 3, la misma respuesta debiera redondearse a
93 ± 3,
y si la incerteza es 30, la respuesta debiera ser
90 ± 30.
Tenga en cuenta que estamos refiriéndonos a cómo expresar el resultado
final. Las reglas de redondeo obviamente no se aplican a cálculos intermedios.
III.b. Incerteza o error relativo
La incerteza Dx en una medición,
(x medido) = xmejor ± Dx,
indica la precisión de la medición. Sin embargo, la incerteza Dx por sí misma no nos dice demasiado. Una incerteza de un
centímetro en una distancia de un kilómetro indicaría una medición inusualmente
precisa, mientras que una incerteza de un centímetro en una distancia de tres
centímetros indicaría una estimación grosera. Obviamente entonces, la calidad de una
medición no está dada sólo por la incerteza Dx sino
también por el cociente entre Dx y xmejor,
lo cual nos lleva a definir el error o incerteza relativa:
error relativo = Dx
/|xmejor|.
En la mayoría de las mediciones medianamente cuidadosas, la incerteza Dx es mucho menor que el valor medido xmejor.
Debido a que el error relativo Dx /|xmejor|
resulta ser entonces un número pequeño, es conveniente a veces multiplicarlo por 100 y
referirse a él como el error o incerteza porcentual. Por ejemplo, la medición
longitud l = 50 ± 1 cm
tiene un error relativo
Dl /|lmejor| = 1 cm
/ 50 cm = 0.02
y un error porcentual de 2%. Por lo tanto, el resultado puede escribirse
también como
longitud l = 50 cm ± 2%.
El error porcentual es una indicación aproximada de la calidad de la
medición, cualquiera sea el tamaño de la cantidad medida. Errores porcentuales del 10%
comúnmente caracterizan a las mediciones gruesas. (Una medición gruesa de 10 cm podría
tener una incerteza del orden del cm; una medición gruesa de 10 kilómetros podría tener
una incerteza del orden del kilómetro). Incertezas relativas del 1 o 2% son
características de experimentos razonablemente cuidadosos y están cerca del mejor valor
que puede obtenerse en experimentos de laboratorio de nivel introductorio. Errores
relativos menores al 1% son difíciles de obtener y son raros de encontrar en el
laboratorio de nivel introductorio.
Esta clasificación es, por supuesto, muy gruesa. Por ejemplo, una buena
cinta métrica puede medir una distancia de 3 metros con una incerteza del orden de un
tercio de milímetro, o aproximadamente 0.1%. En todo caso debemos recordar, sin embargo,
que el proceso de medición involucra al aparato de medida, al observador y al sistema a
medir, y existen errores asociados a cada uno de ellos. Aunque la cinta métrica de este
ejemplo pueda permitir mediciones con una precisión del 0.1%, puede que los demás
factores involucrados en la medición empeoren la precisión del resultado final.
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