Qué sucede cuando debemos combinar más de
una medición para obtener el resultado buscado? Cómo estimamos la incerteza del
resultado final? Veamos algunos casos simples para comenzar. Para estimar la incerteza en
la suma x + y o la diferencia x - y, tenemos que decidir
cuáles son los valores probables más altos y más bajos del resultado. Los valores
probables más alto y más bajo para x son xmejor ± Dx, y para y son ymejor ± Dy. Por lo tanto, el valor probable más alto de x + y
es
xmejor + ymejor + (Dx
+ Dy ),
y el valor probable más bajo es
xmejor + ymejor - (Dx + Dy ).
Por lo tanto, la mejor estimación para q = x + y es
qmejor = xmejor + ymejor,
y su incerteza es
Dq ~ Dx
+ Dy .
Un argumento similar muestra que la incerteza de la diferencia q = x
– y está dada por la misma expresión, Dq ~
Dx + Dy .
(Demuéstrelo!). Es decir que la incerteza en la suma x + y o la diferencia x
– y es la suma Dx + Dy
de las incertezas en x e y. En caso de que tengamos varios números x, ..., w
a ser sumados o restados, repitiendo el argumento anterior llegamos a la siguiente regla:
Incerteza en las sumas o diferencias
Si se miden varias cantidades x, ... , w
con incertezas Dx, ... , Dw, y se utilizan los
valores medidos para calcular la cantidad
q = x + ... + z – (u
+ ... + w),
entonces la incerteza en el valor calculado de q
es la suma
Dq
~ Dx + ...
+ Dz + Du + ... + Dw,
de todas las incertezas originales.
Veamos ahora el caso de un producto q = xy. Sabiendo que el
valor medido de x es xmejor ± Dx,
y que el valor medido de y es ymejor ± Dy,
podemos escribir
(valor de q) = (xmejor ± Dx)(ymejor
± Dy).
Desarrollando este producto obtenemos
(valor de q) = xmejor ymejor
± (Dx ymejor + xmejor
Dy +
+ Dx Dy).
En el caso generalmente encontrado en la práctica en que Dx y Dy son cantidades
pequeñas, podemos despreciar el último término del paréntesis frente los dos primeros.
Esto nos lleva entonces al siguiente resultado:
qmejor = xmejor ymejor,
Dq ~ Dx
ymejor + xmejor Dy.
Es conveniente expresar la incerteza del producto como una incerteza
relativa, es decir, dividir esta última expresión por |q| = |qmejor|
= |xy|:
Dq /|q| ~ Dx
/|x| + Dy /|y|.
Concluimos entonces que la incerteza relativa del producto de dos
cantidades x e y es igual a la suma de las incertezas relativas de x
e y. Veamos ahora el caso de la incertidumbre relativa de un cociente q = x
/ y. En este caso podemos escribir
(valor de q) = xmejor (1 ± Dx/|x|)/[ymejor (1 ± Dy /|y|)]
=
= (xmejor / ymejor) [(1 ± Dx /|x|) / (1 ± Dy
/|y|)],
donde
(valor de x) = xmejor ± Dx
= xmejor (1 ± Dx /|x|).
Nuestro problema ahora es encontrar los valores probables extremos de la
cantidad q. Esta cantidad es máxima cuando el numerador alcanza su valor máximo 1
+D x /|x|, y el denominador toma su mínimo
valor, 1 - Dy /|y|. Entonces, el valor máximo
que puede tomar q = x/y es
(valor de q) = (xmejor / ymejor)
[(1 + Dx /|x|) / (1 -
- Dy
/|y|)].
El factor entre corchetes tiene la forma (1 + a)/(1 – b),
donde los números a y b son normalmente pequeños (es decir, mucho menores
que 1). Este factor se puede simplificar usando dos aproximaciones. Primero, y teniendo en
cuenta que b es pequeño, el teorema del binomio nos permite escribir
1 / (1 – b) ~ 1 + b.
Por lo tanto,
(1 + a) / (1 – b) ~ (1 + a)(1 + b) = 1
+ a + b + ab ~ 1 + a + b,
donde, por ser a y b números pequeños, hemos despreciado
su producto ab frente a los demás términos de la suma. El valor probable más
grande de la cantidad q puede escribirse entonces como
(valor más grande de q) = (xmejor / ymejor)
(1 + Dx /|x| +
+ Dy /|y|).
Un cálculo semejante muestra que el valor probable más pequeño está
dado por una expresión similar con dos signos negativos (demuéstrelo!). Combinando las
dos, encontramos que
(valor de q) = (xmejor / ymejor)
[1 ± (Dx /|x| + Dy
/|y|)].
Comparando esta expresión con la forma común de expresar un resultado
(valor de q) = qmejor (1 ± Dq
/|q|),
vemos que el mejor valor para q es qmejor = xmejor
/ ymejor , como esperábamos, y que la incerteza relativa está dada por
Dq /|q| ~ Dx
/|x| + Dy /|y|.
Concluimos entonces que cuando multiplicamos o dividimos dos cantidades
medidas x e y, el error relativo de la respuesta es la suma de los errores
relativos de x e y. Este resultado lleva a la siguiente regla:
Incerteza en productos y cocientes
Si se miden varias cantidades x, ... , w
con pequeñas incertidumbres Dx, ... , Dw, y los valores medidos se utilizan para calcular
q = (x x ... x z) / (u
x ... x w), q = (x x ... x z) / (u
x ... x w), q = (x x ... x z) / (u
x ... x w),
entonces la incertidumbre relativa del valor
calculado de q es la suma
Dq /|q|
~ Dx /|x|
+ ... + Dz
/|z| + Du
/|u| + ...
... + Dw /|w|
de las incertidumbres relativas en x, ... ,
w.
Esta regla contempla un par de casos particulares: la multiplicación de
una cantidad medida por una constante, y la incerteza al calcular una potencia de una
cantidad medida. En el caso de la multiplicación por una constante B, q = Bx,
la incerteza relativa de este producto es la suma de las incertezas relativas de los
factores. Como DB = 0, entonces la incerteza relativa de
q es igual a la incerteza relativa de x, o sea Dq
/|q| = Dx /|x|. El resultado puede
entonces escribirse como la siguiente regla:
Cantidad medida multiplicada por un número
exacto
Si se mide una cantidad x con incerteza Dx y se utiliza para calcular el producto
q = Bx, q = Bx, q = Bx,
donde B no tiene incerteza, entonces la
incerteza en q es |B| veces la incerteza en x,
Dq
= B Dx.
El segundo caso particular de la regla de adición de incertezas relativas
para el producto contempla el caso de elevar a una potencia una cantidad medida. Por
ejemplo, podemos medir la velocidad v de un objeto y luego calcular v2
para encontrar su energía cinética. Debido a que v2 = v x v,
la incerteza relativa de la cantidad v2 es el doble de la
incerteza relativa en v. La regla general para las potencias es entonces como
sigue:
Incerteza en una potencia
Si se mide una cantidad x con una
incerteza Dx y el valor medido se utiliza para calcular
la potencia
q = xn, q = xn, q = xn,
entonces el error relativo en q es n
veces aquel en x, o sea
Dq /|q| =
n Dx
/|x|.
Aunque no lo hemos demostrado, esta regla vale para todo n real.
Para el caso en que en exponente n es negativo, Dq
/|q| = |n| Dx /|x|.
Problemas
