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Propagación de errores
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I. Introducción

II. Proceso de medición y errores

III. Cómo expresar las incertezas

IV. Propagación de errores

Experiencia No. 1

V. Interpretación a través de gráficos

Experiencia No. 2

VI. El caso de múltiples mediciones

Experiencia No. 3

VII. Discrepancia

VIII. Promedios pesados

Experiencia No. 4

IX. Ajuste por cuadrados mínimos

Experiencia No. 5

Experiencia No. 6

Experiencia No. 7

Experiencias No. 8

Apéndice A: Informes de laboratorio: estructura y preparación

Apéndice B: Notas acerca de la confección de gráficos

Listado de Experiencias

Qué sucede cuando debemos combinar más de una medición para obtener el resultado buscado? Cómo estimamos la incerteza del resultado final? Veamos algunos casos simples para comenzar. Para estimar la incerteza en la suma x + y o la diferencia x - y, tenemos que decidir cuáles son los valores probables más altos y más bajos del resultado. Los valores probables más alto y más bajo para x son xmejor ± Dx, y para y son ymejor ± Dy. Por lo tanto, el valor probable más alto de x + y es

 

xmejor + ymejor + (Dx + Dy ),

 

y el valor probable más bajo es

 

xmejor + ymejor - (Dx + Dy ).

 

Por lo tanto, la mejor estimación para q = x + y es

 

qmejor = xmejor + ymejor,

 

y su incerteza es

Dq ~ Dx + Dy .

 

Un argumento similar muestra que la incerteza de la diferencia q = xy está dada por la misma expresión, Dq ~ Dx + Dy . (Demuéstrelo!). Es decir que la incerteza en la suma x + y o la diferencia xy es la suma Dx + Dy de las incertezas en x e y. En caso de que tengamos varios números x, ..., w a ser sumados o restados, repitiendo el argumento anterior llegamos a la siguiente regla:

 

Incerteza en las sumas o diferencias

Si se miden varias cantidades x, ... , w   con incertezas Dx, ... , Dw, y se utilizan los valores medidos para calcular la cantidad

q = x + ... + z – (u + ... + w),

entonces la incerteza en el valor calculado de q es la suma

Dq ~ Dx + ... + Dz + Du + ... + Dw,

de todas las incertezas originales.

 

Veamos ahora el caso de un producto q = xy. Sabiendo que el valor medido de x es xmejor ± Dx, y que el valor medido de y es ymejor ± Dy, podemos escribir

 

(valor de q) = (xmejor ± Dx)(ymejor ± Dy).

 

Desarrollando este producto obtenemos

 

(valor de q) = xmejor ymejor ± (Dx ymejor + xmejor Dy

+ Dx Dy).

 

En el caso generalmente encontrado en la práctica en que Dx y Dy son cantidades pequeñas, podemos despreciar el último término del paréntesis frente los dos primeros. Esto nos lleva entonces al siguiente resultado:

 

qmejor = xmejor ymejor,

 

Dq ~ Dx ymejor + xmejor Dy.

 

Es conveniente expresar la incerteza del producto como una incerteza relativa, es decir, dividir esta última expresión por |q| = |qmejor| = |xy|:

 

Dq /|q| ~ Dx /|x| + Dy /|y|.

 

Concluimos entonces que la incerteza relativa del producto de dos cantidades x e y es igual a la suma de las incertezas relativas de x e y. Veamos ahora el caso de la incertidumbre relativa de un cociente q = x / y. En este caso podemos escribir

 

(valor de q) = xmejor (1 ± Dx/|x|)/[ymejor (1 ± Dy /|y|)] = 

 

= (xmejor / ymejor) [(1 ± Dx /|x|) / (1 ± Dy /|y|)],

 

donde

 

(valor de x) = xmejor ± Dx = xmejor (1 ± Dx /|x|).

 

Nuestro problema ahora es encontrar los valores probables extremos de la cantidad q. Esta cantidad es máxima cuando el numerador alcanza su valor máximo 1 +D x /|x|, y el denominador toma su mínimo valor, 1 - Dy /|y|. Entonces, el valor máximo que puede tomar q = x/y es

 

(valor de q) = (xmejor / ymejor) [(1 + Dx /|x|) / (1 - 

- Dy /|y|)].

 

El factor entre corchetes tiene la forma (1 + a)/(1 – b), donde los números a y b son normalmente pequeños (es decir, mucho menores que 1). Este factor se puede simplificar usando dos aproximaciones. Primero, y teniendo en cuenta que b es pequeño, el teorema del binomio nos permite escribir

 

1 / (1 – b) ~ 1 + b.

 

Por lo tanto,

 

(1 + a) / (1 – b) ~ (1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab ~ 1 + a + b,

 

donde, por ser a y b números pequeños, hemos despreciado su producto ab frente a los demás términos de la suma. El valor probable más grande de la cantidad q puede escribirse entonces como

 

(valor más grande de q) = (xmejor / ymejor) (1 + Dx /|x| +

+ Dy /|y|).

 

Un cálculo semejante muestra que el valor probable más pequeño está dado por una expresión similar con dos signos negativos (demuéstrelo!). Combinando las dos, encontramos que

 

(valor de q) = (xmejor / ymejor) [1 ± (Dx /|x| + Dy /|y|)].

 

Comparando esta expresión con la forma común de expresar un resultado

 

(valor de q) = qmejor (1 ± Dq /|q|),

 

vemos que el mejor valor para q es qmejor = xmejor / ymejor , como esperábamos, y que la incerteza relativa está dada por

 

Dq /|q| ~ Dx /|x| + Dy /|y|.

 

Concluimos entonces que cuando multiplicamos o dividimos dos cantidades medidas x e y, el error relativo de la respuesta es la suma de los errores relativos de x e y. Este resultado lleva a la siguiente regla:

 

Incerteza en productos y cocientes

Si se miden varias cantidades x, ... , w con pequeñas incertidumbres Dx, ... , Dw, y los valores medidos se utilizan para calcular

q = (x x ... x z) / (u x ... x w), q = (x x ... x z) / (u x ... x w), q = (x x ... x z) / (u x ... x w),

entonces la incertidumbre relativa del valor calculado de q es la suma

Dq /|q| ~ Dx /|x| + ... + Dz /|z| + Du /|u| + ...

... + Dw /|w|

de las incertidumbres relativas en x, ... , w.

 

Esta regla contempla un par de casos particulares: la multiplicación de una cantidad medida por una constante, y la incerteza al calcular una potencia de una cantidad medida. En el caso de la multiplicación por una constante B, q = Bx, la incerteza relativa de este producto es la suma de las incertezas relativas de los factores. Como DB = 0, entonces la incerteza relativa de q es igual a la incerteza relativa de x, o sea Dq /|q| = Dx /|x|. El resultado puede entonces escribirse como la siguiente regla:

 

Cantidad medida multiplicada por un número exacto

Si se mide una cantidad x con incerteza Dx y se utiliza para calcular el producto

q = Bx, q = Bx, q = Bx,

donde B no tiene incerteza, entonces la incerteza en q es |B| veces la incerteza en x,

Dq = B Dx.

 

El segundo caso particular de la regla de adición de incertezas relativas para el producto contempla el caso de elevar a una potencia una cantidad medida. Por ejemplo, podemos medir la velocidad v de un objeto y luego calcular v2 para encontrar su energía cinética. Debido a que v2 = v x v, la incerteza relativa de la cantidad v2 es el doble de la incerteza relativa en v. La regla general para las potencias es entonces como sigue:

 

Incerteza en una potencia

Si se mide una cantidad x con una incerteza Dx y el valor medido se utiliza para calcular la potencia

q = xn, q = xn, q = xn,

entonces el error relativo en q es n veces aquel en x, o sea

Dq /|q| = n Dx /|x|.

 

Aunque no lo hemos demostrado, esta regla vale para todo n real. Para el caso en que en exponente n es negativo, Dq /|q| = |n| Dx /|x|.

 

Problemas

 

wpe85.jpg (11898 bytes)

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