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Interpretación a través de gráficos
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I. Introducción

II. Proceso de medición y errores

III. Cómo expresar las incertezas

IV. Propagación de errores

Experiencia No. 1

V. Interpretación a través de gráficos

Experiencia No. 2

VI. El caso de múltiples mediciones

Experiencia No. 3

VII. Discrepancia

VIII. Promedios pesados

Experiencia No. 4

IX. Ajuste por cuadrados mínimos

Experiencia No. 5

Experiencia No. 6

Experiencia No. 7

Experiencias No. 8

Apéndice A: Informes de laboratorio: estructura y preparación

Apéndice B: Notas acerca de la confección de gráficos

Listado de Experiencias

No es extraño que la interpretación de una serie de mediciones sea más fácil a través de análisis de un gráfico bien confeccionado que a partir de una tabla construida con los resultados de las mediciones. La confección e interpretación de gráficos es de gran importancia tanto en el análisis teórico como en el experimental. En esta Sección trataremos brevemente el tema de la interpretación de gráficos. El Apéndice B trata con detalle el tema de su confección.

Muchas leyes físicas implican una proporcionalidad entre dos cantidades medibles experimentalmente. Por ejemplo, la ley de Hooke establece que el estiramiento de un resorte es proporcional a la fuerza que lo deforma, y la segunda ley de Newton establece que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada. Muchos experimentos de laboratorio están diseñados para verificar esta clase de proporcionalidad.

Si una cantidad y es proporcional a otra cantidad x, un gráfico de y versus x es una línea recta que pasa por el origen. Entonces, para averiguar si y es proporcional a x, Ud. puede graficar los valores medidos de y versus los valores de x y observar si los puntos resultantes yacen sobre una línea recta que pasa por el origen. Debido a que una línea recta es fácilmente reconocible, este método representa una manera simple y efectiva de evaluar proporcionalidad.

Para ilustrar este uso de los gráficos, imaginemos un experimento para verificar la ley de Hooke. Esta ley, expresada comúmente por F = kx, establece que la extensión x de un resorte es proporcional a la fuerza F que lo estira, o sea que x = F/k, donde k es la constante del resorte. Una forma simple de verificar esta ley es colgar un resorte verticalmente y suspender de él diferentes masas m. En este caso, la fuerza F es el peso de la masa suspendida, de tal forma que la extensión del resorte debiera ser x = mg/k = (g/k) m. Por lo tanto, la extensión x debiera ser proporcional a la carga m, y un gráfico de x versus m debiera dar como resultado una línea recta pasando por el origen.

Si medimos x para una variedad de diferentes masas m y graficamos nuestros valores de x y m, los puntos resultantes casi con seguridad no yacerán exactamente sobre una línea recta. Supongamos, por ejemplo, que medimos la extensión x para ocho diferentes cargas m, obteniendo los resultados mostrados en la siguiente tabla:

 

Carga m (gr)

(D m despreciable)

200 300 400 500 600 700 800 900
Extensión x (cm)

(D x = 0.3 cm)

1.1 1.5 1.9 2.8 3.4 3.5 4.6 5.4

 

Estos valores están graficados en la siguiente figura, donde también se muestra una posible línea recta que pasa por el origen y está razonablemente cerca de todos los puntos.

graf1.PNG (2896 bytes)

Como era de esperar, los ocho puntos no están exactamente alineados. La cuestión es ahora si este resultado es debido a las incertezas experimentales (como nosotros quisiéramos), a errores que hemos cometido, o a la posibilidad de que la extensión x no sea proporcional a m. Para contestar esa pregunta, debemos examinar nuestras incertezas.  Como es común, las cantidades medidas, extensiones x y masas m, están sujetas a incertezas.  Por simplicidad supondremos que las masas usadas son conocidas con gran exactitud, de forma tal que la incerteza en m es despreciable. Supongamos, por otra parte, que todas las mediciones de x tienen una incerteza de aproximadamente 0.3 cm. Para una carga de 200 gramos, por ejemplo, la extensión estará probablemente en el rango 1.1 ± 0.3 cm. Nuestro primer punto en el gráfico cae en la línea vertical m = 200 gramos, en algún lugar entre x = 0.8 y x = 1.4 cm. Este rango se indica en la figura de más abajo, donde se muestra una barra de error asociada a cada punto indicando cuál es el posible rango para esa medición. Obviamente, si la relación entre x y m es lineal, deberíamos poder encontrar una línea recta que pase por el origen y pase también a través de todas o casi todas las barras de error. La figura muestra que tal línea existe, de tal forma que podemos concluir que los datos son consistentes con una relación lineal entre x y m.  Hemos visto que la pendiente del gráfico x versus m es g/k. Midiendo la pendiente de la línea recta podemos, por lo tanto, encontrar la constante k del resorte. Dibujando las líneas de máxima y mínima pendiente que se ajustan a los datos razonablemente bien, podemos también encontrar la incerteza de este valor de k.

 graf2.PNG (3041 bytes)

Si la mejor línea recta no pasa a través de un gran número de barras de error, o si los puntos están alejados una gran distancia respecto al tamaño de las barras de error, entonces nuestro resultados son inconsistentes con una relación lineal entre x y m. Esta situación se muestra en la figura siguiente. Con los resultados allí mostrados, tendríamos que comenzar por controlar nuestras mediciones y cálculos (incluyendo el cálculo de los errores) y considerar si x puede no ser proporcional a m por alguna razón. [En este caso, por ejemplo, los primeros cinco puntos pueden ajustarse a una línea recta pasando por el origen. Esta situación sugiere que x puede ser proporcional a m hasta aproximadamente unos 600 gramos, pero que la ley de Hooke deja de valer en ese punto y que a partir de allí el resorte comienza a estirarse más rápidamente.]

graf3.PNG (2763 bytes)

Hasta ahora hemos supuesto que la incerteza en la masa (que está graficada en el eje horizontal) es despreciable y que las únicas incertezas están en x, como lo indican las barras verticales. Si tanto x como m están sujetas a incertezas apreciables, la manera más simple de mostrarlas es dibujar barras de error verticales y horizontales, cuyas longitudes muestren las incertezas en x y m, respectivamente, como se muestra abajo. Cada cruz en este gráfico corresponde a una medición de x y m, en la cual x probablemente cae en el intervalo definido por la barra vertical y m cae en aquel definido por la barra horizontal.

graf4.PNG (2808 bytes)

Una posibilidad un poco más complicada ocurre cuando una cantidad puede ser proporcional a una potencia de otra. (Por ejemplo, la distancia recorrida por un objeto que cae un tiempo t es d = ½ gt2 y es proporcional al cuadrado de t.) Supongamos que se espera que y sea proporcional a x2. Entonces, y = Ax2, donde A es alguna constante, y un gráfico de y versus x debería ser una parábola con la forma general de la figura (a) que se muestra más abajo.  Si medimos una serie de valores (x, y) y graficamos y versus x, puede ser que obtengamos un gráfico como el que muestra la figura (b). Desafortunadamente, juzgar visualmente si un conjunto de puntos se ajusta a una parábola (o a cualquier otra curva, excepto una línea recta) es muy difícil. Una mejor forma de verificar que y es proporcional a x2 (y µ x2) es graficar y versus x al cuadrado. Tal gráfico debiera ser una línea recta, y eso sí es fácilmente verificable, como se ve en la figura (c).

graf5.PNG (6436 bytes)

a) Si y es proporcional a x2, un gráfico de y versus x debería mostrar una parábola con esta forma general. b) La bondad del ajuste parabólico es difícil de evaluar en un gráfico de y versus x. c) Por otra parte, un gráfico de y versus x2 debería resultar en una línea recta pasando por el origen, lo cual es fácil de verificar visualmente. (En el caso que se muestra, podemos ver fácilmente que por los puntos pasa una recta.)

 

De la misma forma, si y = A xn (donde n es una potencia cualquiera), un gráfico de y versus xn debiera ser una línea recta, y graficando los valores observados de y versus xn deberíamos poder verificar fácilmente dicho ajuste. Existen muchas otras situaciones en las cuales una relación no lineal (es decir, una que resulta en un gráfico curvado, no lineal) puede convertirse en una relación linea mediante una hábil selección de las variables a graficar. Por ejemplo, es común el caso en que una de las variables y depende exponencialmente de otra variable x, en la forma y = A eBx. Para esta clase de relaciones, se puede ver fácilmente que el logaritmo natural de y es lineal respecto de x, es decir, un gráfico de ln(y) versus x debería ser una línea recta en el caso de una relación exponencial. Más adelante veremos algunos ejemplos de estas operaciones de linealización.

 

Problemas

 

wpe85.jpg (11898 bytes)

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