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El caso de múltiples mediciones
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I. Introducción

II. Proceso de medición y errores

III. Cómo expresar las incertezas

IV. Propagación de errores

Experiencia No. 1

V. Interpretación a través de gráficos

Experiencia No. 2

VI. El caso de múltiples mediciones

Experiencia No. 3

VII. Discrepancia

VIII. Promedios pesados

Experiencia No. 4

IX. Ajuste por cuadrados mínimos

Experiencia No. 5

Experiencia No. 6

Experiencia No. 7

Experiencias No. 8

Apéndice A: Informes de laboratorio: estructura y preparación

Apéndice B: Notas acerca de la confección de gráficos

Listado de Experiencias

Hasta ahora hemos considerado procesos de medición donde cada una de las cantidades se medía una sola vez. Dejando de lado el caso de mediciones llevadas a cabo durante sucesos únicos, donde no puede medirse más que una vez, rara vez en el laboratorio el valor de una cantidad se define a partir de una sola medición. Una de las mejores maneras de evaluar la confiabilidad de una medición es repetirla varias veces y examinar los diferentes valores obtenidos. Tenga en cuenta, sin embargo, que no todas las incertezas experimentales pueden ser evaluadas mediante un análisis estadístico basado en mediciones reiteradas. Si existen en el proceso de medición errores sistemáticos, el análisis estadístico no ayudará a identificarlos, corregirlos o disminuirlos.

Supongamos que cuidadosamente hemos eliminado todas las fuentes de error sistemático, y que medimos entonces una misma cantidad 100 veces. Cómo reportaremos estos resultados? Haremos una lista de 100 números? Qué resultado particular caracteriza mejor al conjunto de mediciones? Cuál es el rango en donde es más probable encontrar el resultado de una medición en particular? Cuál es la probabilidad de que una medición resulte en un dado valor de la cantidad medida? Todas estas preguntas y algunas más pueden responderse a través de un análisis estadístico de los datos. Ahora que Ud. ha adquirido alguna práctica en la medición de cantidades en el laboratorio, y que ha leído atentamente este apunte y ha resuelto los problemas propuestos, le recomendamos estudiar el Capítulo 3 del libro Experimentación: una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos, especialmente las secciones 1-11. En esta sección de nuestro apunte pasaremos a desarrollar un caso particular de mediciones para que Ud. pueda ver cómo funciona el análisis estadístico en la práctica.

Ejemplo:

Al medir repetidas veces la longitud de un escritorio, un alumno obtiene la siguiente tabla de datos (expresados en milímetros):

 

999.0

993.0

1003.5

997.0

1002.0

994.5

1001.5

990.5

1001.0

996.0

1001.5

998.5

1000.5

998.5

998.5

999.5

996.5

992.5

1004.0

988.0

1007.5

994.5

1002.5

990.5

1000.5

999.5

996.0

1001.5

997.0

1002.0

996.5

1005.0

1004.0

999.0

999.5

1000.5

998.0

1001.5

997.0

1002.5

1002.0

998.0

999.5

999.5

999.5

1000.5

997.5

1000.5

1008.5

1006.0

993.0

1008.0

987.5

1007.5

994.5

1010.0

1008.0

1002.5

996.0

1001.5

995.0

1005.5

996.0

1005.5

1004.5 1004.5

998.0

1004.0

1001.0

999.5

1001.5

999.0

1001.5

999.0

999.0

1003.0

1003.0

996.0

997.0

1005.5

1001.5

996.5

1000.0

999.5

1000.0

999.5

998.5

1000.5

1000.0

993.5

1002.5

998.0

1001.0

995.0

1001.0

999.0

 

Para medir el escritorio, el estudiante usó una pequeña regla de 5 cm de longitud graduada en milímetros. Para cubrir la longitud total del escritorio, el estudiante fue trasladando la regla sobre el lado del escritorio, valiéndose de marcas que él mismo fue haciendo con una lapicera de fibra. Luego de cada medición, el estudiante borraba las marcas y volvía a repetir el proceso. Asumiremos que estas muestras fueron tomadas de un universo Gaussiano.

 

hist.png (13724 bytes)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Dibuje el histograma de las observaciones.

  2. Para construir el histograma dibujado arriba, se dividió el rango total sobre el cual se extienden las observaciones en 13 intervalos de igual ancho, comenzando por 986 mm y finalizando en 1010 mm. Cada barra indica el número de observaciones que se encuentran en el rango cubierto por su ancho.

  3. Identifique la moda y la mediana.

  4. La moda es el valor del rango horizontal para el cual se registra el máximo de la distribución. En este caso, la moda está entre 998.0 mm y 1000.0 mm. La mediana es aquel valor en el cual una línea recta divide a la distribución en dos partes de igual área. En esta caso, la mediana vale 999.5 mm.

  5. Calcule la media.

  6. La expresión para en cálculo de la media o promedio es xm = Sxi /N. En este caso, xm = 999.6 mm. Recuerde que la mejor estimación del verdadero valor X que Ud. puede calcular a partir de sus mediciones es justamente el valor medio xm de sus N resultados.

  7. Calcule la mejor estimación de la desviación estándard del universo.

  8. La mejor estimación de la desviación estándard del universo es sN-1 = =[S(xixm)2/(N - 1)]1/2.  En este problema, sN-1 = 4.54 mm.

  9. Calcule la desviación estándard de la media.

  10. Este es un buen momento para revisar qué es lo que sabemos hasta el momento: en primer lugar, si las mediciones de x están sujetas sólo a errores aleatorios, su distribución límite es la función de Gauss       GX,s (x) centrada en el verdadero valor X y con ancho s . El ancho s es el intervalo de confianza del 68%, es decir que existe un 68% de probabilidades de que una medición individual cualquiera caiga dentro de una distancia s del verdadero valor X. En la práctica, no conocemos el valor de X o s . En su lugar, tenemos nuestros N valores medidos x1, ..., xN. Basados en estos N valores medidos, nuestra mejor estimación del verdadero valor de X es la media xm, y nuestra mejor estimación del ancho s de la distribución es sN-1.

    Ahora surgen dos preguntas, una de las cuales es: cuál es la incerteza en xm como estimación del verdadero valor de X? Es decir, si medimos varios grupos de N mediciones, cómo estarán distribuídas las medias xm de los distintos grupos de mediciones respecto al verdadero valor X? La respuesta es que la incerteza en la estimación del verdadero valor X es la desviación estándard de la media, que vale sxm = sN-1/N1/2. En nuestro caso, este valor resulta sxm = sN-1/10 = = 0.45. Esto quiere decir que nuestra respuesta xm = 999.6 mm está , con un 68% de probabilidad, a una distancia menor a 0.45 mm del valor real de X.

  11. Calcule la desviación estándard de la desviación estándard.

  12. La segunda pregunta que surge es: cuál es la incerteza en sN-1 como estimación del verdadero ancho s ? Puede demostrarse que la incerteza de la incerteza está dada por ss = sN-1/ [2(N – 1)]1/2. Este resultado muestra claramente la necesidad de realizar numerosas mediciones para lograr conocer la incerteza en forma confiable. Por ejemplo, con sólo tres mediciones de una cantidad (N = 3), este resultado muestra que la desviación estándard tiene una incerteza del 50%! En este problema, ss = 0.32 mm, y la incerteza relativa en el valor de s es 1 / [2(N – 1)]1/2 = 1 / [2(100 – 1)]1/2 = 0.07, o sea del 7%.

  13. Dentro de qué límites hay una probabilidad del 68% de que esté incluída una observación particular? Qué límites dan una probabilidad del 95%?

  14. Los intervalos dentro de los cuales la probabilidad de que esté incluída una observación particular es del 68% y 95% son, respectivamente, xm ± sN-1 y xm ± 2sN-1. En este problema, estos intervalos expresados en milímetros son (995.1, 1004.1) y (990.5, 1008.7).

  15. Dentro de qué límites la media tiene 1) una probabilidad del 68%, y 2) una probabilidad del 95% de estar incluída?

  16. Note que ahora la pregunta es diferente, y se refiere al rango dentro del cual Ud. espera que el valor medio de una muestra se encuentre con cierta probabilidad. En 1), este rango está dado por xm ± sxm, y en 2) está dado por xm ± 2sxm. En este caso, estos intervalos expresados en milímetros son (999.1, 1000.1) y (998.7, 1000.5).

  17. Dentro de qué límites el verdadero ancho s tiene 1) una probabilidad del 68%, y 2) una probabilidad del 95% de estar incluída?

  18. Estos intervalos están definidos por 1) sN-1 ± ss , y 2) sN-1 ± 2ss . En nuestro caso, estos intervalos son, en milímetros, (4.22, 4.86) y (3.90, 5.18).

     

    wpe85.jpg (11898 bytes)

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