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Promedios pesados
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I. Introducción

II. Proceso de medición y errores

III. Cómo expresar las incertezas

IV. Propagación de errores

Experiencia No. 1

V. Interpretación a través de gráficos

Experiencia No. 2

VI. El caso de múltiples mediciones

Experiencia No. 3

VII. Discrepancia

VIII. Promedios pesados

Experiencia No. 4

IX. Ajuste por cuadrados mínimos

Experiencia No. 5

Experiencia No. 6

Experiencia No. 7

Experiencias No. 8

Apéndice A: Informes de laboratorio: estructura y preparación

Apéndice B: Notas acerca de la confección de gráficos

Listado de Experiencias

Frecuentemente, una cantidad física se mide varias veces, inclusive en diferentes laboratorios, y la pregunta que se suscita es cómo pueden combinarse estos resultados para dar una única mejor estimación. Supongamos, por ejemplo, que dos estudiantes A y B miden cuidadosamente una cantidad x y obtienen los siguientes resultados:

 

Estudiante A: x = xA ± DA

y

Estudiante B: x = xB ± DB.

 

Cada resultado es probablemente el resultado de varias mediciones, en cuyo caso xA será la media de todas las mediciones de A y DA la desviación estándard de la media (lo mismo se aplica a xB y DB). La cuestión es entonces cuál es la mejor forma de combinar xA y xB para obtener una sola estimación de x.

Antes de examinar esta cuestión, note que si la discrepancia  |xAxB| entre las dos mediciones es mucho más grande que ambas incertezas DA y DB, deberíamos sospechar que algo está mal en al menos una de las mediciones. En esta situación, diríamos que ambas mediciones son inconsistentes, y deberíamos examinar ambas mediciones cuidadosamente para ver si una (o ambas) ha estado sujeta a algún error sistemático desapercibido.

Supongamos que las mediciones son consistentes, es decir, que la discrepancia |xAxB| no es significativamente mayor que DA y DB. En ese caso sería muy razonable preguntar cuál es la mejor estimación del valor real X, basado en ambas mediciones. Un primer impulso nos lleva a pensar que este valor debería ser el promedio (xA + xB)/2 de ambas mediciones. Sin embargo, un poco de reflexión nos sugiere que este promedio es inadecuado en el caso que que las incertezas DA y DB sean diferentes. El simple promedio le da igual importancia a ambas mediciones, mientras que es más razonable pensar que a la medición más precisa (con menor D ) debiera dársele más peso.

Puede demostrarse que la mejor estimación del verdadero valor de X está dado por el promedio pesado (al que llamaremos xpp), dado por la siguiente expresión:

 

 (mejor estimación de X) = xpp = (pAxA + pBxB)/(pA + pB),

 

donde pA = 1/DA2 y pB = 1/DB2 son denominados pesos. Observe que si las dos mediciones son igualmente inciertas (DA = DB, y por lo tanto pA = pB), esta respuesta se reduce al simple promedio (xA + xB)/2.  Esta ecuación es similar a la del centro de gravedad de dos cuerpos, donde pA y pB son sus pesos y xA y xB sus posiciones. Si las mediciones de A son más precisas que las de B, entonces DA < DB y por lo tanto pA > pB, de forma tal que la mejor estimación está más cerca de xA que de xB, tal y como debiera ser.

 

Problemas

 

wpe85.jpg (11898 bytes)

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