Uno de los tipos más comunes e interesantes
de experimento involucra la medición de varios valores de dos diferentes variables
físicas a fines de investigar la relación matemática entre las dos variables. Ud. mismo
ha realizado experimentos de esta clase en este curso. Sin embargo, en dichos experimentos
el ajuste de los datos a una función propuesta, tal como una línea recta, fue realizada
en forma cualitativa, es decir, a ojo. Existen formas cuantitativas de
encontrar el valor de los parámetros que mejor representan a un conjunto de datos, y es
precisamente este tema el que trataremos en esta Sección. Le recomendamos nuevamente que,
además del breve desarrollo incluído en este apunte, consulte la bibliografía
recomendada por la Cátedra.
Probablemente, los experimentos más comunes del tipo descripto más
arriba son aquellos para los cuales la relación esperada entre las variables es lineal.
Por ejemplo, si creemos que un cuerpo está cayendo con aceleración constante g,
entonces su velocidad v debería ser una función lineal del tiempo t,
v = v0 + gt.
En forma más general, consideraremos un par cualquiera de variables
físicas x e y de las cuales sospechemos que están relacionadas por una
relación lineal de la forma
y = A + Bx,
donde A y B son constantes. Si las dos variables y y x
están relacionadas de esta manera, entonces un gráfico de y versus x
debiera resultar en una línea recta de pendiente B, que intersecta al eje y
en y = A. Si medimos N diferentes valores de x y los
correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no están sujetas a
incerteza alguna, entonces cada uno de los puntos (xi, yi)
caería exactamente sobre la línea y = A + Bx. En la práctica, existen
incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta
sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la siguiente figura:
Las inevitables incertezas experimentales se muestran a
través de las barras de error, y sólo podemos esperar que los puntos estén
razonablemente cerca de la recta. En este caso, sólo la variable y está sujeta a
incertezas apreciables.
Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos
dos preguntas. En primer lugar, si tomamos por garantido que y y x están
relacionadas linealmente, entonces el problema es encontrar la recta y = A +
Bx que mejor se ajusta a las mediciones, es decir, las mejores estimaciones para
los valores de A y B. Este problema puede tratarse gráfica o
analíticamente. El método analítico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una
serie de datos experimentales es llamado regresión lineal, o ajuste de mínimos
cuadrados para una recta.
La segunda pregunta que surge es si los valores medidos realmente llenan
nuestras expectativas acerca de la linealidad entre y y x. Para contestar a
esta pregunta, deberíamos primero encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos, y además
encontrar alguna forma de medir qué tan bien esta línea se ajusta a los datos. Si
conocemos las incertezas asociadas a los datos, como en el caso de la figura 5, podemos
evaluar el ajuste visualmente. Si no tenemos una estimación confiable de las incertezas,
entonces tenemos que analizar la bondad del ajuste examinando la distribución de los
puntos mismos. Este problema, relacionado con los conceptos de covarianza y correlación,
no será tratado en esta Sección.
Vayamos a la cuestión de encontrar la recta y = A + Bx
que mejor se ajusta a un conjunto de puntos (x1, y1),...,
(xN, yN). Para simplificar nuestra discusión,
supondremos que sólo las incertezas de la variable y son apreciables. Esta
suposición es frecuentemente muy razonable, porque es común el caso en que las
incertezas en una variable son muchos más grandes que en la otra. Supondremos además que
todas las incertezas en y tiene la misma magnitud. (Esta suposición es también
razonable en muchos experimentos. Si las incertezas fueran diferentes, existen formas de
generalizar el análisis dándole un peso adecuado a las distintas mediciones).
Si conociéramos las constantes A y B, entonces, para
cualquier valor xi podríamos calcular el verdadero valor yi
que le corresponde:
(verdadero valor de yi) = A + B xi.
La desviación de esta magnitud respecto al valor medido se puede escribir
entonces como:
dyi = yi
– (A + B xi).
Intuitivamente, vemos que un criterio razonable para elegir la recta que
mejor se ajusta a los puntos experimentales es elegir aquella que minimice la suma de los
cuadrados de las desviaciones individuales d yi.
Esto significa que el valor de los parámetros A y B estará dado por las
siguientes dos condiciones:
(¶/¶A)[S(dyi)2] = -2
S (yi - A - B xi)2
= 0
(¶/¶B)[S(dyi)2] = -2
Sxi (yi - A - B
xi)2 = 0.
La resolución simultánea de estas ecuaciones resulta en las expresiones
siguientes (demuéstrelo!):
A = ( Sxi2 Syi - Sxi Sxi yi )/D ,
B = ( N Sxi yi
- Sxi Syi
)/D ,
donde
D = N Sxi2
- (Sxi )2 .
Como vemos, la aplicación del criterio de minimización de la suma de los
cuadrados de las desviaciones resulta en la obtención de resultados objetivos para los
parámetros A y B. Además de que este criterio es intuitivamente razonable,
se puede demostrar que si la medición de cada yi está gobernada por
una distribución Gaussiana, entonces la mejor estimación de los parámetros A y B
es aquella que minimiza la suma S(dyi)2.
La desviación estándard de la pendiente y la ordenada al origen se
calculan en términos de la desviación estándard s y
de la distribución de valores de dyi
alrededor de la mejor recta (en el sentido de los cuadrados mínimos). Esta desviación
estándard está dada por
sy = [S(dyi)2 / (N – 2)]1/2.
El factor (N – 2) obedece a razones que no demostraremos
aquí, y que están ligadas al número de grados de libertad disponibles. (Para una
justificación estadística más profunda refiérase a la bibliografía sugerida). Usando
esta expresión para la incerteza de los valores medidos yi , podemos
usar propagación de errores para escribir las incertezas en las cantidades A y B:
sA = sy
(Sxi2 /D
)1/2
sB = sy
(N /D )1/2.
De esta forma, la aplicación del criterio de cuadrados mínimos nos ha
permitido encontrar la mejor estimación de los parámetros A y B, así como
también su incerteza. Es fácil demostrar que si por alguna razón tenemos motivos para
suponer que la mejor recta debe pasar por el origen de coordenadas, o sea que es de
la forma y = Bx, entonces la mejor estimación para la constante B
es:
B = Sxi yi /
Sxi2.
La incerteza en B está dada en este caso por:
sB = sy
/ (Sxi2 )1/2
= [S(yi - Bxi)2 /
(N – 1)]1/2 / (Sxi2)1/2.
Problemas
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